SAI PHÂN LÀ GÌ

  -  

I. Những khái niệm cơ bản 1. Hàm số đối số nguyên Hàm bao gồm tập xác định thuộc Z call là hàm số tất cả đối số nguyên. Cam kết hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa không đúng phân: không nên phân của hàm số Un là chênh doanh thu trị của hàm số tại hai giá bán trị tiếp đến nhau. Ký kết hiệu: ΔUn = Un +1 - Un không đúng phân cung cấp m của hàm số Un là không đúng phân của sai...




Bạn đang xem: Sai phân là gì

*

CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH không nên PHÂNI. Các khái niệm cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm bao gồm tập xác minh thuộc Z điện thoại tư vấn là hàm số bao gồm đối số nguyên.Ký hiệu y = f(n). F(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số)2. Định nghĩa sai phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số trên hai giá trị kế tiếp nhau. Cam kết hiệu: ΔUn = Un +1 - UnSai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của không nên phân cung cấp m-1 của hàm số kia : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn sai phân cấp 2 được xem :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương trường đoản cú ta hoàn toàn có thể biểu diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+mI. Phƣơng trình không đúng phân Định nghĩa : là PT với hàm số phải tìm là một trong hàm đối số rời rạc f (n) = Un gồm mặtdưới dạng không đúng phân những cấp.PT không nên phân cung cấp m gồm dạng tổng thể : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0Hay hoàn toàn có thể viết bên dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0Nghiệm của PT sai phân là hàm số đối số rời rạc Un =f(n) mà khi thế Un = f(n), Un+1=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng hóa thức bên trên tập hợp các số nguyên n0.Nghiệm bao quát của một PT không đúng phân cung cấp n bao gồm dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) vào đóC1, C2,...,Cn là những hằng số bất kì, lúc gán cho từng kí tự C1, C2,...,Cn một vài xác địnhta được một nghiệm riêng rẽ của PT.PT sai phân Ôtônôm là PT có dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 1II. Phƣơng trình không đúng phân tuyến đường tính1. Phương trình không nên phân tuyến đường tính cấp cho 1Định nghĩa: Là phương trình gồm dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong kia an, bn, fn là các hàm đối số nguyên. Un và Un+1 là hai quý hiếm kề nhau của hàmUn đối số nguyên bắt buộc tìm.Nếu an cùng bn là những hằng số thì ta tất cả phương trình không đúng phân thông số hằng.Phương trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) điện thoại tư vấn là phương trình thuần nhất tương ứng của (1).Ví dụ:Một người sử dụng có số chi phí là A đồng, đem gửi ngày tiết kiệm, lãi xuất hàng tháng là 1%.Lập mô hình về tình trạng tiền vốn của khách hàng hàng. 1Ta gồm un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Phương trình sai phân cấp caoa. Phương trình không đúng phân cấp 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn và công nhân là những hằng số thì ta bao gồm phương trình sai phân thông số hằng.Nếu fn = 0 thì ta bao gồm phương trình thuần độc nhất liên kếtan.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là một nghiệm của PT không đúng phân tuyến đường tính ko thuần nhất với U1n, U2n là 2nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần nhất links thì nghiệm tổng thể của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã mang lại Fibonacci một việc như sau: “Hômnay, fan ta khuyến mãi tôi một cặp thỏ. Biết thỏ nhị tháng tuổi ban đầu đẻ và tiếp nối mỗitháng đẻ một lứa, mỗi lứa là 1 trong cặp thỏ. Không còn năm, tôi bao gồm bao nhiêu cặp thỏ ?”Giải: hotline Fn là số cặp thỏ đạt được ở tháng thiết bị n.Tháng trước gồm Fn-1 cặp, trong các số ấy chỉ tất cả số thỏ mon trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 với F1 = 1, F2 = 1.b. Phương trình sai phân cấp kLà phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình không nên phân tuyến đường tính cấp cho 1 thông số hằng1. Phương trình sai phân tuyến đường tính thuần độc nhất Nghiệm tổng thể : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUnVí dụ:Năm 1990 dân số hà nội là 1,6 triệu người, tốc độ tăng dân sinh là 1% một năm. Hỏidân số hà nội thủ đô năm 2050 là bao nhiêu?Giải: call un là dân số thủ đô hà nội năm lắp thêm n + 1990 1Ta tất cả un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Phương trình không đúng phân tuyến đường tính không thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) với q 0. PT thuần nhất link Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là một trong nghiệm của PT sai phân tuyến đường tính ko thuần tuyệt nhất (1) và U1n là mộtnghiệm của PT thuần nhất links (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng thể của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa tra cứu nghiệm riêng rẽ của (1) : q+) Nếu p. -1 nghiệm riêng là U*n = 1p U*n+) Nếu phường = -1 nghiệm riêng biệt là = qn.IV. Phƣơng trình không nên phân tuyến tính cung cấp 2 hệ số hằng1. Phương trình không nên phân con đường tính thuần tốt nhất :Xét phương trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: giả dụ xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng chính là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn và yn độc lập tuyến tính y0 y1Bổ đề 2: giả dụ xn, yn là nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm tổng thể của (3).Chứng minh:Gọi Un là một nghiệm ngẫu nhiên của (3). Ta chứng minh rằng tồn tại Au cùng Bu sao cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là các hằng số nhờ vào un). Ax0 + By0 = U0 Hệ phương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm duy nhất Au với Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minh bằng quy nạp, ta bao gồm Un = Au.xn + Bu.yn hầu hết nghiệm của (3) đều biểu diễn qua xn cùng yn đ.p.c.mTa kiếm tìm nghiệm riêng bên dưới dạng xn = λn (λ 0). Vắt vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương trình (4) hotline là phương trình đặc thù của (3).Trường hòa hợp 1: trường hợp (4) tất cả hai nghiệm thực phân minh λ1 và λ2 (3) tất cả hai nghiệmriêng độc lập tuyến tính xn = λ1n với yn = λ2n .Nghiệm tổng quát Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường thích hợp 2: giả dụ (4) có nghiệm kép là λ0, (3) gồm hai nghiệm riêng hòa bình tuyếntính xn= λ0n cùng yn = n.λ0n .Nghiệm tổng quát Un = (C1+ nC2) λ0n phường .iTrường thích hợp 3: nếu (4) tất cả hai nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p.

Xem thêm: Guide Jarvan Iv Mùa 11 - Cách Chơi Javan Solo Top, Jarvan Iv Mùa 11



Xem thêm: Khái Niệm Biên Lai Là Gì ? Khái Niệm Biên Lai Và Biên Lai Điện Tử Là Gì

) cùng với r = A2 + B2 và α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) có hai nghiệm riêng hòa bình tuyến tính là xn = rn.cosnα cùng yn = rn.sinnαNghiệm tổng quát Un = rn . 4Ví dụ 1: tìm kiếm nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Phương trình đặc trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 với λ2 = 2Vậy nghiệm bao quát un = A + B.2n. U0 = A + B = 1 Hệ phương trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 với B = -1. NVậy nghiệm riêng thoả mãn là un = 2 – 2 5Ví dụ 2: tìm nghiệm un+2 = 2 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Phương trình sệt trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 cùng λ2 = 2 1Vậy nghiệm bao quát un = A 2n + B.2n. U0 = A + B = 0 Hệ phương trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng đề xuất tìm là un = 3 (2-n – 2n)Ví dụ 3: kiếm tìm nghiệm un+2 = 10un+1 - 25unBài làm:Phương trình sệt trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm tổng thể un = (A + Bn)5nVí dụ 4: tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương trình đặc trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm bao quát un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ phương trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng yêu cầu tìm là un = 1 + nVí dụ 5: kiếm tìm nghiệm un+2 - un+1 + un = 0Bài làm: Phương trình sệt trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. N.Vậy nghiệm tổng quát un = Acos 3 + Bsin 3Ví dụ 6: tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Phương trình đặc trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. N.Vậy nghiệm bao quát un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ phương trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 cùng B = 0. N.Vậy nghiệm riêng yêu cầu tìm là un = 2n.cos 32. Phương trình không nên phân đường tính không thuần duy nhất Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta kiếm tìm nghiệm riêng biệt U*n của (5) : ? r+) nếu như p+q -1 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = 1pq+) trường hợp p+q = -1 rn Khi p. -2 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = p2 rn 2 * Khi p. = -2 thì nghiệm riêng biệt là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần nhất liên kết ta suy ra nghiệm tổng quát của (5).Trường đúng theo Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét làm việc dạng bao quát cho PT không đúng phân tuyếntính thông số hằng cấp k.V. Phƣơng trình không đúng phân tuyến đường tính cung cấp k hệ số hằng.1. Phương trình không đúng phân tuyến đường tính thuần nhất cung cấp k hệ số hằng:Là phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong đó a0, a1, …, ak là những số thực. 6Ta search nghiệm riêng dưới dạng Un = λn, vậy vào (6) ta gồm phương trình quánh trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Trường hợp 1: trường hợp (7) bao gồm k nghiệm thực khác nhau λ1, λ2, … λk ta gồm k nghiệmriêng độc lập tuyến tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm tổng thể : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường phù hợp 2:Nếu (7) có nghiệm bội, ví dụ điển hình λ1 gồm bội s cùng k-s nghiệm thực phân biệt:λ1 = λ2 = … = λs , ta thay thế s nghiệm riêng rẽ x1n, x2n, …, xsn khớp ứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm tổng quát : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+...+ Ck. λknTrường hòa hợp 3: nếu phương trình (7) tất cả nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ sở hữu được nghiệm phức phối hợp λ2 = r(cosα - i.sinα) và k-2 nghiệm thực phân biệt, khiđó khớp ứng ta sửa chữa thay thế x1n = rn.cosnα cùng x2n = rn.sinnα trong nghiệm tổng quát.Nghiệm tổng thể : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknVí dụ 1: kiếm tìm nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 - 30un = 0.Bài làm: Phương trình sệt trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 với λ3 = 5Vậy nghiệm tổng quát un = A1.2n + A2.3n + A3.5nVí dụ 2: tìm nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 - 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Phương trình sệt trưng:λ3 - 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 cùng λ3 = 3Vậy nghiệm tổng quát un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ phương trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 cùng C = -5.Vậy nghiệm riêng đồng tình là un = (5 + 3n).2n – 5.3nVí dụ 3: tra cứu nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. N.Vậy nghiệm tổng thể un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Phương trình không đúng phân con đường tính không thuần nhất cung cấp k hệ số hằngLà phương trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong kia a0, a1, …, ak là các số thực, fn 0n.Phương trình thuần nhất khớp ứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm bao quát của phương trình (8) bởi nghiệm tổng thể của phươngtrình (6) cộng với nghiệm riêng bất kỳ của (8).Chứng minh:Giả sử vn là nghiệm tổng quát của (6) cùng xn là nghiệm riêng của (8).Đặt un = toàn nước + xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0(vn + xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un = đất nước hình chữ s + xn.Ngược lại hiệu 2 nghiệm riêng bất kỳ của (8) cũng là nghiệm riêng biệt của (6). Vậynghiệm bao quát của (8) bởi nghiệm bao quát của phương trình (6) cùng vớinghiệm riêng bất kỳ của (8).Cách tìm nghiệm riêng biệt xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường vừa lòng 1:Nếu λ = 1 là nghiệm cấp cho s của phương trình đặc trưng ( s rất có thể nhận cực hiếm 0) thìnghiệm riêng tất cả dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) cùng tìm ci bởi phươngpháp hệ số bất định. Trường hợp λ = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng gồm dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 với tìm Ci bằng phương pháp hệ số bất định. Fn = Pm(n).βnTrường hợp 2: nếu như λ = β là nghiệm cấp s của phương trình đặc thù (s hoàn toàn có thể nhận quý giá 0) thìnghiệm riêng bao gồm dạng xn= Qm(n).ns.βn, cố vào phương trình search Qm(n) bằng phươngpháp thông số bất định. Nếu như λ = β không là nghiệm của phương trình đặc thù thì nghiệm riêng bao gồm dạngxn= Qm(n).βn, vậy vào phương trình search Qm(n) bằng cách thức hệ số bất định. Fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường vừa lòng 3: Ta tìm kiếm nghiệm riêng biệt dạng xn = x1n + x2n. 8Trong đó x1n là nghiệm riêng rẽ ứng cùng với f1(n) = Rl(n) (đưa về trường hòa hợp 1) với x2n lànghiệm riêng rẽ ứng với f2(n) = Pm(n).βn (đưa về trường vừa lòng 2). 5Ví dụ 1: kiếm tìm một nghiệm riêng của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Phương trình đặc trưng λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 với λ2 = 2 λ = 1 không là nghiệm ta kiếm tìm nghiệm riêng biệt dạng xn= an2 + bn+ cThay vào phương trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c - 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. Xn = -2n2 + 2n - 10Đồng nhất hệ số a = -2, b =2 với c = -10Ví dụ 2: tìm một nghiệm riêng của phương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Phương trình đặc thù λ2 –1 = 0 λ1= 1 cùng λ2 = -1 λ = một là nghiệm đối kháng ta search nghiệm riêng biệt dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Thay vào phương trình a = 1, b = c = 0 5Ví dụ 3: search một nghiệm riêng rẽ của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Phương trình đặc trưng λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 với λ2 = 2 ta tìm nghiệm riêng biệt dạng xn= A.3n λ = 3 không là nghiệm 5 2 2Thay vào phương trình, ta có: A.3n+2 - 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 - 2un = -3. 2nVí dụ 4: search một nghiệm riêng rẽ của phương trìnhBài làm: Phương trình đặc trưng λ2 – λ - 2 = 0 λ1= 2 với λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm đối kháng ta kiếm tìm nghiệm riêng dạng xn= A.n.2n 1 -nThay vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = - 2 xn = 2 .2nVí dụ 5: tra cứu một nghiệm riêng biệt của phương trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: Áp dụng ví dụ 1 cùng ví dụ 3 nghiệm riêng xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. Ứng dụng của phƣơng trình không nên phân 9